Multiplicacion de integrales

Multiplicacion de integrales

👁 Batalla integral#8: ¿división o multiplicación?

La regla del múltiplo constante es una propiedad útil de las integrales infinitas. Esta regla permite extraer constantes de la integral, simplificando el problema. Por ejemplo, la integral de 2x + 4 es la misma que la integral de x + 2 multiplicada por 2. Es importante, sin embargo, que sólo se extraigan de la integral las constantes, no las variables.
La regla de la potencia de las antiderivadas es otra propiedad (recuerda que tomar la integral de algo es antidiferenciar). La antiderivada de una xn es xn+1/n + c, donde c es una constante, según la ley de la potencia.

🔆 Integral del producto

La integral definida, o límite de una suma de Riemann, puede interpretarse como la región bajo una curva, como hemos visto (es decir, entre la curva y el eje horizontal). Este applet investiga algunas propiedades de la integral definida que pueden ser útiles para calcular el valor de una integral.
Inicialmente, c es igual a dos. ¿Qué observas en las áreas (los valores de las áreas se muestran en la esquina superior izquierda de la gráfica)? Utilizando el deslizador c o el cuadro de entrada c, cambia el valor de c. ¿Qué crees que has notado? Haz que c sea igual a -1. Aquí se ilustra la regla de la constante múltiple: h(x) = f (x) + g (x) + h(x) = f (x) + g (x) + h(x) = f (x) + g (x) + h(x) (x). ¿Qué te parecen las distintas áreas? Cambia los deslizadores a y b para ver si la relación se mantiene. El área bajo la curva roja es igual al número de las áreas bajo las curvas azul y verde. Esto tiene sentido porque las sumas de Riemann están formadas en su totalidad por rectángulos altos y finos, y la altura de los rectángulos rojos es igual a la suma de las alturas de los rectángulos verdes y azules.

💛 Integrar implicando primero la multiplicación y la división

Esto implica que multiplicar por una constante antes de hacer la integral es lo mismo que multiplicar por una constante después de hacer la integral. Sin embargo, tal y como está escrito aquí, parece ser una regla de manipulación algebraica: puedo pasar un múltiplo constante dentro y fuera del signo de la integral. Si necesito hacer una manipulación algebraica, lo hago de esta manera. Resulta útil cuando hago una fórmula de reducción, por ejemplo. Sin embargo, cuando hago una integral, no lo hago mucho así.
Me parece torpe. Quizá sea porque el signo de la integral es tan grande que combinar dos de ellos ocupa mucho espacio mental. O puede ser que todos estemos esperando que ocurra algo positivo. En cualquier caso, no me gusta. Mi proceso es el siguiente: Pienso para mí: “El 3 se multiplica para que se quede ahí”, y entonces escribo “tres veces”. Luego pienso para mí: “Para hacer la integral de x2, debo aumentar la potencia en uno y dividir por la nueva potencia”, y lo escribo. Después, por supuesto, añado el +C.

😚 Integración por partes (la “regla del producto” de la integración)

Para un curso matemáticamente riguroso de cálculo infinitesimal, véase Cálculo elemental: An Infinitesimal Approach. Me parece mucho más intuitivo que el cálculo tradicional de límites. http://www.math.wisc.edu/keisler/calc.html
La analogía de “multiplicar números cambiantes” me ha recordado que “integrar es realmente sólo medir la media”, es decir, integrar f(x)dx es equivalente a tomar la media de f(x) y multiplicarla por la duración del intervalo.
Supongo que una integral separada por el intervalo es similar al símbolo de la integral con un guión atravesado…
Sin embargo, no he podido encontrar ninguna confirmación en Internet.
Es una buena notación aunque no lo sea.
Tal vez alguien compruebe que no estoy entendiendo la “revelación” que dice. Siempre se busca el área bajo una curva cuando se busca trabajo o distancia, como dos ejemplos que puso. Claro, cuando se mide la distancia, los ejes representarán el tiempo y la velocidad, o la fuerza y la distancia cuando se calcula el trabajo, pero cuando los ejes se utilizan para representar las distancias de anchura y altura, es lo mismo que calcular el área. Tiene razón en que es similar a la multiplicación. De hecho, se pueden utilizar integraciones muy sencillas para encontrar las áreas bajo los trapecios, pero no mencionó el hecho de que las integrales definidas se refieren a las áreas bajo la curva.

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