Suma de cuadrados perfectos

Suma de cuadrados perfectos

🤓 Suma de cuadrados perfectos

🐸 Fórmula de la suma de cuadrados perfectos

El número de los primeros n cuadrados perfectos positivos, donde n es un número entero positivo, se puede calcular mediante la fórmula (fracn33 + c*n2 + fracn6), donde (c) es una constante. ¿Cuál es el número de los 15 primeros cuadrados perfectos que son positivos? (B)
kirankp escribió lo siguiente:
La fórmula n3/3 + c.n2 + n/6, donde c es una constante, da el número de los primeros n cuadrados perfectos positivos, siendo n un número entero positivo. ¿Cuál es el número de los 15 primeros cuadrados perfectos que son positivos? (B)
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🏆 Cómo factorizar cuadrados perfectos…

La suma de dos cuadrados es un número en la teoría de números. La descomposición primaria de cualquier número entero n > 1 está relacionada con el hecho de que pueda escribirse como una suma de dos cuadrados, de manera que para algunos enteros a, b, n = a2 + b2.
2450 = 2 52 72 es la descomposición primaria del número. Sólo el 7 es congruente con el 3 módulo 4 de los primos que aparecen en esta descomposición. En la descomposición, su exponente, 2, es par. Como resultado, el teorema dice que se puede expresar como el número de dos cuadrados. 2450 = 72 + 492 es correcto.

🖤 Cómo expandir el cuadrado perfecto…

Utilicemos n=12 como ejemplo. ¿De cuántas formas diferentes podemos encontrar n sumando cuadrados perfectos menores que n? Hay que tener en cuenta que el mayor cuadrado perfecto menor que n es n. Así, para cada número de j=1 a n, podemos ver si podemos dividir n en dos trozos, uno de los cuales es un cuadrado perfecto j*j y el otro n-j*j se puede dividir en cuadrados perfectos de la misma manera. Para todos los posibles 1jn tiene una relación de recurrencia ps(n)=j*j+ps(n-j*j). Tenemos que encontrar j que produzca el menor número de cuadrados perfectos.
Para n = 12, observe el árbol de recursión creado para la relación de recurrencia ps(n)=j*j+ps(n-j*j) para todos los posibles 1jn. Podemos ver que hay muchos caminos hacia una solución, pero el que tiene el menor número de cuadrados perfectos que suman n=12 es ps(12) = 22+22+22, que tiene tres cuadrados perfectos. También cabe destacar que el problema tiene subproblemas que se repiten. ps(2), ps(7) y ps(3), por ejemplo, aparecen dos veces. Como el problema tiene la subestructura óptima ps(n)=j*j+ps(n-j*j) para todos los subproblemas posibles de 1jn y que se repiten, la intuición nos informa de que podemos utilizar DP para resolver la expansión exponencial del árbol de recursión.

🔴 La suma de dos cuadrados perfectos es un cuadrado perfecto

Para facilitar la memorización, observa primero que las palabras de cada una de las dos fórmulas de factorización son idénticas. A continuación, fíjate en el hecho de que cada fórmula sólo tiene un símbolo “menos”. La diferencia entre las dos fórmulas es el lugar donde se encuentra el signo “menos”:
Las letras representan el factor lineal que tiene el “mismo” signo que el signo en el centro de la expresión original, luego el factor cuadrático que comienza con el signo “opuesto” al que estaba en la expresión original, y finalmente el segundo signo dentro del factor cuadrático es “siempre positivo”, según algunas personas.
Observa que la parte cuadrática de cada fórmula del cubo no se factoriza, así que no pierdas el tiempo intentándolo. Sí, los factores a2 – 2ab + b2 y a2+ 2ab + b2 existen, pero esto se debe a los dos en sus palabras centrales. Los términos cuadráticos en estas fórmulas de suma y diferencia de cubos no tienen el “2”, por lo que no pueden ser factores.
Aplica la regla necesaria cuando te den un par de cubos para factorizar. Al decir “cuidadosamente”, me refiero a “tener en cuenta todo, particularmente los signos negativos” en los paréntesis. He aquí algunos ejemplos de problemas comunes:

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