Que es una serie geometrica

🤝 Series geométricas

Se puede calcular la suma de una serie geométrica de un número finito de términos. También se puede tomar la suma de una serie geométrica infinita por razones que aprenderás en el cálculo, pero sólo si la razón habitual r está entre -1 y 1; es decir, debes tener | r | 1.
Nota: La fórmula de la suma parcial anterior puede escribirse de forma ligeramente diferente en tu libro. Por ejemplo, la “a” podría multiplicarse en el numerador, los factores de la fracción podrían invertirse, o la suma podría comenzar con I = 0 y terminar con una potencia de n + 1 en el numerador. Todas estas formas son similares, y la fórmula anterior puede derivarse utilizando la división larga de polinomios.
Como resultado, se trata de una secuencia geométrica con r = -2. (La forma dada para cada término también indica que debe ser una serie geométrica: a medida que el índice aumenta, cada término se multiplicará por un factor adicional de -2).
No necesito el valor del último término para hallar la n-ésima suma parcial de una sucesión geométrica, a diferencia de la fórmula para la n-ésima suma parcial de una serie aritmética. De momento, tengo todo lo que necesito para empezar. La fórmula de la suma me da: cuando introduzco los valores del primer término y el cociente común

📑 16 – la serie geométrica – definición, significado y ejemplos

Te saltarás esta sección si comprendes perfectamente la afirmación anterior. Si alguna vez ha tratado con números infinitos, entenderá lo que “$ cdots $” intenta transmitir. Sin embargo, es importante señalar que la expresión es matemáticamente correcta.
No hay forma de saber cuáles son las dos primeras “sumas” en el contexto tradicional porque el número total se desplaza cuando se siguen sumando valores. El primer número permanece constante entre 1 y 0, mientras que el segundo puede ser tan alto como queramos. Sin embargo, cuando se siguen sumando valores al tercero, éste se acerca cada vez más a un número definitivo. Este es el tipo de cosas que queremos recordar cuando trabajamos con números como estos. El número total se acerca a 1 a medida que añadimos más palabras (lo probaremos pronto). Como resultado, advertimos que hay que tener cuidado porque nunca se pueden añadir suficientes palabras para llegar a 1. Esta afirmación simplemente indica que si seguimos añadiendo valores, podemos acercarnos a 1 tanto como queramos. Otra forma de decirlo es así:

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Una progresión geométrica, también conocida como serie geométrica, es una lista de números en la que cada término después del primero se encuentra multiplicando el anterior por un número fijo distinto de cero conocido como razón común [latex]r[/latex]. Por ejemplo, la progresión geométrica [latex]2, 6, 18, 54, cdots[/latex] tiene la razón común [latex]3[/latex]. Del mismo modo, una sucesión geométrica con el cociente común [latex]displaystylefrac12[/latex] es [latex]10,5,2.5,1.25,cdots[/latex].
En general, se puede determinar si una secuencia es geométrica comparando las razones de las entradas sucesivas en la secuencia. El cociente común de una serie geométrica puede ser negativo, lo que da lugar a una secuencia alterna. Los números de una serie alternante alternarán entre signos positivos y negativos. Por ejemplo, una secuencia geométrica con la razón común [latex]-3[/latex] es [latex]1,-3,9,-27,81,-243, cdots[/latex].
En contraste con el crecimiento lineal (o declive) de una progresión aritmética como [latex]4, 15, 26, 37, 48, cdots[/latex] (con diferencia común [latex]11[/latex]), las secuencias geométricas (con razón común no igual a [latex]-1[/latex], [latex]1[/latex], o [latex]0[/latex]) muestran un crecimiento exponencial o un declive exponencial. T.R. Malthus utilizó este resultado como base matemática para su Principio de Población. Cabe destacar que los dos tipos de progresión están relacionados: una progresión aritmética da lugar a una progresión geométrica, mientras que una progresión geométrica da lugar a una progresión aritmética tomando el logaritmo de cada palabra con un cociente común positivo.

👐 Series geométricas y secuencias geométricas – básico

es divergente si y sólo si | r | es mayor que 1. Las series geométricas divergentes se evalúan generalmente a un número que coincide con la fórmula para el caso convergente por métodos de suma de series divergentes.
Resulta útil averiguar qué métodos de suma generan la fórmula de la serie geométrica para qué cocientes comunes. El principio de Borel-Okada es una aplicación de esta información: Si, dadas algunas restricciones en S, un método de suma estándar suma zn a 1/(1 – z) para todo z en un subconjunto S del plano complejo, el método también da la continuación analítica de cualquier otra función f(z) = anzn en la intersección de S con la estrella de Mittag-Leffler para f. 1ª